Edouard Lucas – die Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen

Der französische Mathematiker Edouard Lucas (1842–1891) beschäftigte sich intensiv mit Zahlenfolgen, die mit zwei beliebigen positiven Zahlen beginnen und deren nachfolgende Glieder jeweils die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen sind. Die bekannteste dieser Folgen ist diejenige, die Fibonacci mit seiner Kaninchenaufgabe entwickelt hat. Es war Lucas, der Leonardo von Pisa als den rechtmässigen Entdecker dieser Folge anerkannte, nachdem sie zuvor von anderen Wissenschaftlern wie etwa Gabriel Lamé für sich in Anspruch genommen worden war. Seither sind die Begriffe "Fibonacci-Folge" und "Fibonacci-Zahlen" geläufig.

Beziehungen zwischen Fibonacci- und Lucas-Zahlen

Lucas stellte aber auch eine eigene Zahlenfolge auf, die sogenannte "Lucas-Folge": 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 ... Die Folge der Lucas-Zahlen baut sich nach derselben Gesetzmässigkeit auf wie die Fibonacci-Zahlen: L_n = L_(n-1) + L_(n-2). Die Startwerte sind hier jedoch L_1 = 1 und L_2 = 3. Zwischen Fibonacci- und Lucas-Zahlen gibt es zahlreiche Zusammenhänge. So ergibt die Addition bestimmter Fibonacci-Zahlen jeweils eine Lucas-Zahl: F_1 + F_3 = L_2, F_2 + F_4 = L_3 etc. In verallgemeinerter Form: L_n = F_(n-1) + F_(n+1).

Periodizität der Endziffern

Beide Zahlenfolgen weisen auffällige periodische Wiederholungen der Endziffern auf. Bei den Fibonacci-Zahlen kehrt nach einer Periode von 60 die Folge der Endziffern wieder. Nach einem Zyklus von 300 wiederholen sich die letzten zwei Ziffern, nach einem Zyklus von 1500 die letzten drei Stellen, nach einem Zyklus von 15 000 die letzten vier Stellen und so fort. Bei den Lucas-Zahlen kehren die letzten Ziffern mit einer Periode von 12 wieder. Die letzten zwei Ziffern wiederholen sich nach einem Sechzigerzyklus, die letzten drei Ziffern nach einem Zyklus von 300, die letzten vier nach einem Zyklus von 3000 und so fort.

Ein weiteres Phänomen ist, dass bei beiden Folgen die Verhältnisse aufeinanderfolgender Werte gegen den Goldenen Schnitt konvergieren.

Literatur zu den Lucas-Zahlen

• Verner E. Hoggatt, Fibonacci and Lucas Numbers. New York, 1969
• Edouard Lucas, Considérations nouvelles sur la théorie des nombres premiers et sur la division géométrique de la circonférence en parties égales. Association française pour l'avancement des sciences, 6 (1877), S. 159–167.