Farbwürfel von MacMahon

Die 30 MacMahon-Würfel tragen auf ihren Seitenflächen 6 Farben in allen möglichen Kombinationen. Sie sind alle voneinander verschieden, das heisst, sie können durch Drehungen nicht ineinander überführt werden. Die Aufgabe besteht darin, einen Würfel auszuwählen und unter den übrigen 29 Würfeln 8 so zu bestimmen, dass damit ein 2x2x2-Würfel konstruiert werden kann. Dieser soll auf den entsprechenden Seitenflächen die gleichen Farben haben wie der ursprüngliche Würfel. Im Innern des Würfels sollen angrenzende Flächen die gleiche Farbe tragen.

Geschichte

Die Aufgabe stammt von Percy Alexander MacMahon, einem englischen Major und bedeutenden Mathematiker auf dem Gebiet der Kombinatorik. Sie erscheint zum ersten Mal 1921 in seinem Werk "New Mathematical Pastimes". In der Folgezeit werden Varianten der Aufgabe vorgeschlagen, etwa die Konstruktion eines 2x2x2-Würfels, bei dem zwei Paare gegenüberliegender Seiten die gleiche Farbe und das dritte Paar zwei weitere Farben tragen, oder die Konstruktion von grösseren Würfeln und Quadern mit einfarbigen Seitenflächen.

Mathematik

Wenn man die 24 Drehungen berücksichtigt, die einen Würfel invariant lassen, dann sind von den 720 möglichen sechsfarbigen Würfeln genau 30 verschieden.

Durch zufälliges Ausprobieren kann die Lösung für die Aufgabe von MacMahon nicht gefunden werden. Man muss systematisch vorgehen. Zunächst werden die 4 Würfel für die untere Ebene, dann diejenigen für die obere Ebene gesucht. Man sieht dabei, dass genau zwei Lösungen existieren. In beiden Lösungen werden die gleichen 8 Würfel verwendet, sie liegen zum Würfelmittelpunkt symmetrisch und sind verdreht.