Lateinische Quadrate

Ein lateinisches Quadrat ist ein Quadrat aus nxn Feldern, wobei jedes Feld mit je einem von n verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal auftritt. Die Zahl n wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

Ein lateinisches Quadrat der Ordnung 9 mit der Zusatzbedingung, dass in den 9 vorliegenden 3x3-Teilquadraten alle Symbole jeweils nur einmal auftreten, führt zum Zahlenrätsel Sudoku.

Aus zwei lateinischen Quadraten lässt sich ein griechisch-lateinisches Quadrat konstruieren, falls die n^2 durch Kombination erhaltenen geordneten Paare nur einmal auftreten. In diesem Fall sagt man, dass die lateinischen Quadrate orthogonal sind. Griechisch-lateinische Quadrate werden auch Eulersche Quadrate genannt.

Geschichte

Der Mathematiker Leonhard Euler befasst sich intensiv mit solchen Quadraten. Als Symbole benutzt er das lateinische und das griechische Alphabet - daher die Namen. Euler entwickelt Methoden für die Konstruktion von griechisch-lateinischen Quadraten ungerader Ordnung und der Ordnung 4k, für k = 1, 2, ... Im Jahre 1779 betrachtet er auch das Problem der 36 Offiziere, das zur Konstruktion eines griechisch-lateinischen Quadrates der Ordnung 6 führen soll. Da dies unmöglich ist und da es auch kein griechisch-lateinisches Quadrat der Ordnung 2 gibt, vermutet er, dass kein griechisch-lateinisches Quadrat der Ordnung 4k + 2, für k = 0, 1, ... existieren kann. Seine Aussage wird 1959 durch die Entdeckung von Gegenbeispielen widerlegt. Im Jahre 1960 publizieren R.C. Bose, E.T. Parker und S.S. Shrikhande eine Arbeit mit dem Beweis, dass griechisch-lateinische Quadrate der Ordnung 4k + 2, für k = 2, 3, ... existieren.

Mathematik

Ein lateinisches Quadrat für eine beliebige Ordnung n lässt sich leicht konstruieren. Die Frage der Existenz von griechisch-lateinischen Quadraten der Ordnung n ist viel komplexer. Es ist bewiesen worden, dass es höchstens n – 1 paarweise orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung n gibt. Die Existenz dieser maximalen Anzahl ist äquivalent zur Existenz einer endlichen projektiven Ebene der Ordnung n.